Líneas de investigación

Álgebra Conmutativa y Geometría Algebráica

En Geometría Algebraica se estudia principalmente la geometría de las variedades definidas por ecuaciones polinómicas y estructuras algebraicas asociadas. En el programa se consideran aspectos muy variados, como el estudio de fibrados definidos sobre estas variedad y los correspondientes espacios de moduli, la clasificación de complejos de haces y las condiciones de estabilidad en categorías trianguladas,

Teoría de Arakelov (un punto de vista aritmético), variedades abelianas (con estructura de grupo) e irregulares (con propiedades similares a las abelianas), variedades tóricas (con una acción de grupo), y esquemas de Hilbert que clasifican subvariedades. Desde un punt de vista más computacional, se trabaja en teoría de la eliminación y en métodos efectivos aplicables a la geometría algebraica.

En Álgebra Conmutativa se trabaja en varios aspectos tanto fundamentales como aplicados, especialmente en relación a la Combinatoria Algebraica. Concretamente, en métodos homológicos en característica positiva, la transformada de Mellin algebraica y la estructura de los anillos Gorenstein en dimensión arbitraria. También en el estudio moderno de las sizigias y de los invariantes asociados a las resoluciones libres y, desde un punto de vista más aplicado, en diversos problemas relacionados con los semigrupos y los polinomios asociados a órdenes, grafos y matroides.

 

Análisis Estocástico

 

La investigación pivota equilibradamente entre la investigación fundamental y la transferencia de conocimiento al sector de las finanzas, articulándose en dos ejes: la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales estocásticas (EDPs) y el estudio de modelos en tiempo continuo en mercados financieros.

Los temas tratados sobre EDPs son variados, como teoría probabilista del potencial, ecuaciones estocásticas de ondas con coeficientes no lineales, EDPs con ruido fraccionario, y cálculo del Malliavin.

Respecto al estudio de mercados financieros, se aplican las herramientas de Análisis Estocástico para tratar temas como el problema de equilibrio cuando hay inversores con información asimétrica, modelos de burbujas financieras, valoración de productos híbridos, y los modelos de volatilidad fraccionaria. Los departamentos de riesgos financieros podrían ser el destino profesional por los doctorandos formados en esta área.

En Álgebra Conmutativa se trabaja en varios aspectos tanto fundamentales como aplicados, especialmente en relación a la Combinatoria Algebraica. Concretamente, en métodos homológicos en característica positiva, la transformada de Mellin algebraica y la estructura de los anillos Gorenstein en dimensión arbitraria. También en el estudio moderno de las sizigias y de los invariantes asociados a las resoluciones libres y, desde un punto de vista más aplicado, en diversos problemas relacionados con los semigrupos y los polinomios asociados a órdenes, grafos y matroides.

 

Análisis Matemático

 

 Esta línea de investigación incluye temas de Análisis Matemático  y de Ecuaciones en Derivadas Parciales.

En Análisis Matemático se consideran problemas clásicos de teoría de funciones y teoría de operadores, principalmente en varias variables complejas, de teoría del potencial, así como de teoría geométrica de la medida y de análisis armónico, incluidas las teorías de funciones quasi-conformes y de integrales singulares. Algunas de estas técnicas se utilizan para estudiar procesos de puntos aleatorios motivados por modelos de partículas con repulsión y que también aparecen al describir el espectro de matrices aleatorias.

En Ecuaciones en Derivadas Parciales se estudian también problemas muy diversos, incluyendo mecánica de fluidos, ecuaciones elípticas, desigualdades funcionales y geométricas, o problemas espectrales, combinando técnicas del análisis variacional, análisis armónico, teoría geométrica de la medida, cálculo numérico y demostraciones asistidas por ordenador.

 

Ciencias de la Computación

En esta línea de investigación se estudian aspectos teóricos relacionados con la propuesta de nuevos modelos y técnicas de Inteligencia Artificial así como aspectos prácticos que estudian su aplicación a problemas en diferentes campos como son la medicina, las finanzas o la lingüística. Concretamente, el profesorado trabaja en áreas tales como aprendizaje automático (machine learning en inglés), aprendizaje profundo (deep learning), visión por computador y sistemas multiagentes, así como en gráficos por computador, sistemas interactivos, visualización científica y de datos.

La línea de investigación viene avalada por una amplia experiencia en proyectos (tanto Europeos, como del Plan Nacional I+D, de Retos y proyectos de Excelencia) así como en producción científica en revistas de alto impacto y congresos internacionales de reconocido prestigio. Además, el profesorado participa en diferentes masters universitarios e interuniversitarios Inteligencia Artificial, Ingeniería Biomédica, Ciencias de datos, Ciencias de datos biomédicos, Visión por Computador) propios del área de investigación.

Geometría Diferencial y Topología

 

Esta línea agrupa diversos temas del ámbito de la geometría, como las teorías gauge, fibrados de Higgs, espacios de móduli de estructuras geométricas y acciones de grupos sobre variedades. También incluye varias direcciones dentro de la topología algebraica: estructuras homotópicas de orden superior, homotopía racional y p-ádica, categorías derivadas y topología de las variedades algebraicas complejas. La teoría de Hodge relaciona problemas importantes de geometría y topología, como la existencia de estructuras casi complejas o el cálculo de sus invariantes. Por otra parte, el análisis de datos topológico es una vía novedosa y versátil de aplicación de técnicas de topología a las redes neuronales y a la ciencia de datos, que además supone un nuevo camino de transferencia de conocimiento hacia empresas y centros de investigación que trabajen con grandes volúmenes de datos.

 

Lógica Matemática

Se consideran temas de  Lógica Algebraica (sistemas lógicos como lógicas modales, difusas o intuicionistas y cuestiones metalógicas tratadas con álgebra universal y teoría de categorías), Teoría de Modelos (cuestiones de definibilidad en Matemática clásica, principalmente en el contexto de la Teoría de la Estabilidad y sus generalizaciones), Teoría de la Demostración (sistemas deductivos y el contenido computacional y constructivo de las demostraciones), Teoría de Conjuntos (grandes cardinales, combinatoria y forcing), fundamentos y de topología conjuntista (secuencias de cardinales para álgebras de Boole y P-espacios de Lindelöf).

 

Sistemas Dinámicos

 

 La investigación en Sistemas Dinámicos se desarrolla alrededor de su estudio tanto desde un punto de vista teórico como computacional, incluyendo aplicaciones a otras ciencias. Los temas tratados son los sistemas hamiltonianos y los sistemas no conservativos, tanto en dimensión baja como infinita, para sistemas dinámicos continuos (descritos por ecuaciones diferenciales) y discretos (generados por iteración de funciones). Se hace especial énfasis en la mecánica celeste y la astrodinámica, y el diseño de misiones espaciales.

En Dinámica holomorfes, se trabajan aspectos de la teoría de iteración de funciones holomorfas (o meromorfas) en el plano complejo. Tópicos de especial interés son la dinámica de las funciones trascendentes, los métodos numéricos como sistemas dinámicos, la cirugía cuasiconforme como herramienta y las perturbaciones singulares de funciones racionales.

 

Teoría de Números

Se estudia principalmente el área de la Geometría Aritmética, en la interrelación entre objetos geométricos definidos sobre cuerpos de números tales como curvas elípticas, variedades abelianas o variedades algebraicas y formas modulares y automorfas. Esto es parte de una red de conjeturas conocidas como el Programa de Langlands, que incluye conjeturas de reciprocidad (o modularidad) y la functorialidad de Langlands. Se trabaja con representaciones de Galois, con aplicaciones al Problema Inverso de Galois. Además del Programa de Langlands, se trabaja en la conjetura de Sato-Tate, en Teoría de Galois Diferencial, en ecuaciones diofánticas y en criptografía.

En negrita, los correspondientes vocales en la comisión académica