Línies de recerca

Àlgebra Commutativa i Geometria Algebraica

En Geometria Algebraica s’estudia la geometria de les varietats definides per equacions polinòmiques i estructures algebraiques associades. En el programa s’estudien aspectes com els fibrats sobre aquestes varietats i els corresponents espais de moduli, la classificació de complexos de feixos i les condicions d’estabilitat en categories triangulades, la teoria d’Arakelov (un punt de vista aritmètic), varietats abelianes (amb estructura de grup) i irregulars (amb propietats similars a les abelianes), varietats tòriques (amb una acció de grup), i esquemes de Hilbert que classifiquen subvarietats. Des d’un punt de vista més computacional, es treballa en teoria de l’eliminació i en mètodes efectius aplicables a la Geometria Algebraica.

En Àlgebra Commutativa es treballa en diversos aspectes tant fonamentals com aplicats, especialment en relació a la Combinatòria Algebraica. Concretament, en mètodes homològics en característica positiva, la transformada de Mellin algebraica i l’estructura dels anells Gorenstein en dimensió arbitrària. També en l’estudi modern de les sizígies i dels invariants associats a les resolucions lliures i, des d’un punt de vista més aplicat, en diversos problemes relacionats amb els semigrups i els polinomis associats a ordres, grafs i matroides.

 

Anàlisi Estocàstica

La recerca pivota equilibradament entre la recerca fonamental i la transferència de coneixement al sector de les finances, articulant-se en dos eixos: la teoria de les equacions en derivades parcials estocàstiques (EDPs) i l’estudi de models a temps continu en mercats financers.

Els temes tractats sobre EDPs són variats, com teoria probabilista del potencial, equacions estocàstiques d’ones amb coeficients no lineals, EDPs amb soroll fraccionari, i càlcul del Malliavin.

Respecte a l’estudi de mercats financers, s’apliquen les eines d’Anàlisi Estocàstica per tractar temes com el problema d’equilibri quan hi ha inversors amb informació asimètrica, models de bombolles financeres, valoració de productes híbrids, i els models de volatilitat fraccionària. Els departaments de riscs financers podrien ser el destí professional pels doctorands formats en aquesta àrea.

 

Anàlisi Matemàtica

 

Aquesta línia de recerca inclou temes d’Anàlisi Matemàtica i d’Equacions en Derivades Parcials.

En Anàlisi Matemàtica es consideren problemes clàssics de teoria de funcions i teoria d’operadors, principalment en diverses variables complexes, teoria del potencial, així com de teoria geomètrica de la mesura i de l’anàlisi harmònica, incloses les teories de funcions quasi-conformes i d’integrals singulars. Algunes d’aquestes eines s’utilitzen per estudiar processos de punts aleatoris motivats per models de partícules amb repulsió i que apareixen en descriure l’espectre de matrius aleatòries.

En Equacions en Derivades Parcials s’estudien també problemes molt diversos, incloent-hi mecànica de fluids, equacions el·líptiques, desigualtats funcionals i geomètriques, o problemes espectrals, combinant tècniques de l’anàlisi variacional, anàlisi harmònica, teoria geomètrica de la mesura, càlcul numèric i demostracions assistides per ordinador.

 

Ciències de la Computació

En aquesta línia de recerca s’estudien aspectes teòrics relacionats amb la proposta de nous models i tècniques d’Intel·ligència Artificial així com aspectes pràctics que estudien la seva aplicació a problemes en diferents camps com són la medicina, les finances o la lingüística. Concretament, el professorat treballa en àrees com ara l’aprenentatge automàtic (machine learning en anglès), l’aprenentatge profund (deep learning), la visió per computador i els sistemes multiagents, així com en gràfics per computador, sistemes interactius, visualització científica i de dades.

La línia de recerca ve avalada per una àmplia experiència en projectes (tant Europeus, com del Pla Nacional I+D, de Reptes i projectes d’Excel·lència) així com en la producció científica en revistes d’alt impacte i congressos internacionals de reconegut prestigi. A més, el professorat participa en diferents màsters universitaris i interuniversitaris (Intel·ligència Artificial, Enginyeria Biomèdica, Ciències de dades, Ciències de dades biomèdiques, Visió per Computador) propis de l’àrea de recerca.

Geometria Diferencial i Topologia

Aquesta línia agrupa diversos temes de l’àmbit de la geometria, com les teories gauge, fibrats de Higgs, espais de mòduli d’estructures geomètriques i accions de grups sobre varietats. També inclou diverses direccions dins la topologia algebraica: estructures homotòpiques d’ordre superior, homotopia racional i p-àdica, categories derivades i topologia de les varietats algebraiques complexes. La teoria de Hodge estableix lligams entre problemes importants de geometria i de topologia, com l’existència d’estructures quasi-complexes o el càlcul dels seus invariants. D’altra banda, l’anàlisi de dades topològica és una via innovadora i versàtil d’aplicació de tècniques de topologia a les xarxes neuronals i a la ciència de dades, suposant un camí nou de transferència de coneixement cap a empreses o centres de recerca que treballin amb grans volums de dades.

 

Lògica Matemàtica

S’estudien temes de Lògica Algebraica (sistemes lògics com lògiques modals, difuses o intuïcionistes i qüestions metalògiques tractades amb àlgebra universal i teoria de categories), Teoria de Models (qüestions de definibilitat en Matemàtica clàssica, principalment en el context de la Teoria de l’Estabilitat i les seves generalitzacions), Teoria de la Demostració (sistemes deductius i el contingut computacional i constructiu de les demostracions), Teoria de Conjunts (grans cardinals, combinatòria i forcing), fonaments i de topologia conjuntista (seqüències de cardinals per àlgebres de Boole i P-espais de Lindelöf).

 

Sistemes Dinàmics

La recerca en Sistemes Dinàmics es desenvolupa al voltant del seu estudi tant des d’un punt de vista teòric com computacional, incloent-hi aplicacions a altres ciències. Els temes tractats són els sistemes hamiltonians i els sistemes no conservatius, tant en dimensió baixa com infinita, per sistemes dinàmics continus (descrits per equacions diferencials) i discrets (generats per iteració de funcions). Es fa especial èmfasi en la mecànica celeste i l’astrodinàmica, i el disseny de missions espacials.

En Dinàmica Holomorfa, es treballen aspectes de la teoria d’iteració de funcions holomorfes (o meromorfes) al pla complex. Tòpics d’especial interès són la dinàmica de les funcions transcendents, els mètodes numèrics com a sistemes dinàmics, la cirurgia quasiconforme com a eina i les pertorbacions singulars de funcions racionals.

 

Teoria de Nombres

 

 Es consideren temes de l’àrea de la Geometria Aritmètica, en la interrelació entre objectes geomètrics definits sobre cossos de nombres com ara corbes el·líptiques, varietats abelianes o varietats algebraiques i formes modulars i automorfes. Això és part d’una xarxa de conjectures conegudes com el Programa de Langlands, que inclou conjectures de reciprocitat (o modularitat) i la functorialitat de Langlands. També es treballa amb representacions de Galois, amb aplicacions al Problema Invers de Galois, i en la conjectura de Sato-Tate, en Teoria de Galois Diferencial, en equacions diofàntiques i en criptografia.

En negreta, els corresponents vocals a la comissió acadèmica